Método espectral

Método espectral

Métodos espectrales es una clase de las técnicas usadas adentro matemáticas aplicadas y el computar científico solucionar numéricamente seguro ecuaciones diferenciales parciales, a menudo implicando el uso del Fourier rápido transforma. Donde aplicables, los métodos espectrales tienen características excelentes del error, con la “convergencia exponencial supuesta” siendo los posibles más rápido.

Las ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) describen una amplia gama de procesos físicos tales como conducción del calor, flujo flúido, y propagación del sonido. En muchas tales ecuaciones, hay las “ondas básicas subyacentes” que se pueden utilizar dan a algoritmos eficientes para las soluciones que computan a estos PDEs. En un caso típico, los métodos espectrales se aprovechan de este hecho escribiendo la solución como su Serie de Fourier, substituyendo esta serie en el PDE para conseguir un sistema de Odas en los coeficientes time-dependent de los términos trigonometric al la serie (escrita en forma exponencial compleja), y usar un método el tiempo-caminar de solucionar esas odas.

El método espectral y método de elemento finito se relacionan y se construyen de cerca en las mismas ideas; la diferencia principal entre ellos es que el método espectral aproxima la solución como combinación linear de las funciones continuas que son generalmente distintas a cero sobre el dominio de la solución (generalmente sinusoids o Polinomios de Chebyshev), mientras que el método de elemento finito aproxima la solución pues una combinación linear por trozos de las funciones que son distintas a cero en subdomains pequeños. Debido a esto, el método espectral toma en a acercamiento global mientras que el método de elemento finito es a acercamiento local. Éste es parte de porqué el trabajo espectral del método lo más mejor posible cuando es la solución liso.

En la comunidad finita del elemento, un método donde está muy alto el grado de los elementos o aumentos como las disminuciones del parámetro h de la rejilla a cero a veces se llaman a método espectral del elemento.

La puesta en práctica del método espectral normalmente se logra cualquiera con colocación o a Galerkin acercamiento.

Un ejemplo concreto

Aquí presumimos una comprensión básica de multivariate básico cálculo y Serie de Fourier. Si g (x, y) es haber sabido, la función complejo-valorada de dos variables verdaderas, y g es periódicos en x y y (es decir, el =g del =g de g (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) entonces estamos interesados en encontrar una función f (x, y) de modo que

donde la expresión a la izquierda denota los segundos derivados parciales de f en x y y, respectivamente. Éste es Ecuación de Poisson, y puede ser interpretado físicamente como cierta clase de problema de la conducción del calor.

Si escribimos f y g en la serie de Fourier:

y substituya en la ecuación diferencial, nosotros obtienen esta ecuación:

Hemos intercambiado la diferenciación parcial por una suma infinita, que es legítima si asumimos por ejemplo eso f tiene un segundo derivado continuo. Por el teorema de la unicidad para las extensiones de Fourier, debemos entonces comparar el término de los coeficientes de Fourier por el término, dando

(*)

cuál es un fórmula explícito para los coeficientes de Fourier a_j,k.

Para dar vuelta a esto en un algoritmo, solamente finito muchas frecuencias se solucionan para. Esto introduce un error a el cual pueda ser demostrado para ser proporcional hⁿ, donde h = 1 / n y n es la frecuencia más alta tratada.

Algoritmo

1. Compute el Fourier transforman (b_{j, k}) de g.
2. Compute el Fourier transforman (a_{j, k}) de f vía el fórmula (*) y el Fourier transforme de g.
3. Cálculo f tomando un Fourier inverso transforme de (a_{j, k}).

Puesto que estamos solamente interesados en una ventana finita de frecuencias (del tamaño n, la opinión) esto se puede hacer usando a Fourier rápido transforma algoritmo. Por lo tanto, global el algoritmo funciona a tiempo O(n registro n).

Una relación con el método espectral del elemento

Uno puede demostrar eso si g es infinitamente diferenciable, entonces el algoritmo numérico que usa Fourier rápido transforma convergerá más rápidamente que polinomio en el tamaño H. de la rejilla. Es decir, para cualquier n> 0, hay a tales que el error es menos que Chⁿ para los valores todo suficientemente pequeños de h. Decimos que el método espectral está de orden n, para cada n> 0.

Porque a método espectral del elemento es a método de elemento finito de la orden muy alta, hay una semejanza en las características de la convergencia. Sin embargo, mientras que el método espectral se basa en el eigendecomposition del problema de valor de límite particular, el método espectral del elemento no utiliza esa información y no trabaja para arbitrario problemas de valor de límite elípticos.

Vea también

• Método discreto del elemento
• Método de elemento finito
• Método finito del volumen
• Rejilla Gaussian
• método Pseudo-espectral
• Método espectral del elemento
• Método de Galerkin
• Método de la colocación

Referencias

• Chebyshev y métodos espectrales de Fourier por Juan P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Un método espectral del elemento para el Navier--Alimenta ecuaciones con exactitud mejorada
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., y Zang T.A. (2006) Métodos espectrales. Fundamentales en solos dominios. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg